圆周率
[拼音]：yuanzhoul╇
[外文]：ratio of the circumference of a circle to the diameter
欧几里得平面上圆周与直径的长度之比。它是人类认识到的第一个特殊常数，是人类在测量圆周长和圆面积的各种情况中逐步认识的。古希腊欧几里得的《几何原本》中已提到圆周率是常数。中国古代早有“径一周三”的记载，即认为圆周率是常数了。自1737年L.欧拉用 表示圆周率后， 就成为一个通用符号。此后也通用由圆半径r和圆周率 求圆周长的公式:C=2 r。关于圆面积与圆周率的关系人类也很早就知道了。中国古代数学专著《九章算术》第一章《方田》中求圆田面积，“术曰:半圆半径相乘得积步”。即以半圆周 r和半径r为长和宽的矩形面积就是所求的圆面积S，这正是圆面积公式S= r2。
圆周率的古典方法和古代值
数学史上曾采用过圆周率 的各种近似值，现存于世的有关圆周率的最早文字记载是公元前1650年左右在古埃及产生的莱因德纸草书， 其中取。这看来是一个经验值。古希腊阿基米德约在公元前 240年从计算圆内接和外切正多边形周长来确定圆周率的上下界。这是第一个计算 值的方法，后人称为古典方法。阿基米德从正 6边形开始，逐步计算到正96边形周长而得到。他取两位小数确定 =3.14。约公元150年，C.托勒密在《数学汇编》中给出。这是从该书中记载的圆心角所对弦的长度推算出来的。印度数学家阿耶波多第一约在530年采用 ＝3.1416，这可能是从希腊传入的，也可能是他计算了正384边形的周长。1150年前后，婆什迦罗第二给出 的常用值，“非准确值”，“准确值”，他还给出与托勒密相同的另一个 的值。阿拉伯的卡西约在1427年在他的《圆周论》中计算正 3×228边形周长得出精确到17位数字的 =3.1415926535898732。
中国古代《九章算术》正文用“径一周三”的古率。西汉末刘歆为王莽造铜斛(公元9年)采用 ＝3.1547。东汉张衡(78～139)采用计算球体积。三国吴人王蕃（215～257)采用。这些都是经验值。魏人刘徽在注《九章算术》时提出与阿基米德古典方法相类的“割圆术”。他从圆内接正6边形周长是直径的3倍开始，依次割圆，成倍增长内接正多边形的边数。求得内接正2n边形边长l与圆半径r及内接正n边形边长ln的关系：
他还得出圆面积S和圆内接正n边形面积Sn，正2n边形面积S2n满足下列不等式：
。
由此得到圆周率的上下界。他取半径为1尺，由圆内接正6边形面积开始，逐步算得正96边形和正192边形面积为
。
因此，取n=96，有
。
刘徽“弃其余分”，取 ＝3.14。他还说:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这说明他已知求更精确的 值的方法，并具有极限的思想。刘徽之后尚有皮延宗在445年前后取 ＝22/7。南北朝时的祖冲之提出圆周率精确到 8位数字的上下界：3.141592617边形求π值到10位数字(1579)。荷兰L.范.科伦在1596年求到小数点后20位，才超过卡西。
圆周率是无理数和超越数
J.H.朗伯在1767年证明圆周率 是无理数，即不能表示成有理分数，因而不会是有限小数或循环小数。F.von林德曼在1882年证明 是超越数，即不是任何一元有理系数多项式的根。从而解决了古代三大几何难题之一──化圆为方不可能用尺规作(云南的简称：云南的简称为滇。云南位于中国的西南地区，省会城市是昆明，东部和贵州、广西为邻。)图作出。
圆周率和角的弧度制
欧拉在1748年出版的《无穷小分析引论》中提出三角函数是对应的函数线与圆半径的比。他同时引入角的弧度制，即取圆半径作为单位，圆心角用其所对的弧长表示。这时平角所对的半圆周长是 。从此以后圆周率 就作为相当于180°的角度值。
圆周率的其他方法和近代值
韦达在1593年把表示成无穷乘积
英国J.沃利斯在1655年给出
，
1658年由W.布龙克把它变成连分数
，
朗伯特就是利用它证明 是无理数的。苏格兰J.格雷果里在1671年得出无穷级数
G.W.莱布尼茨在1673年由此得出收敛极慢的级数
J.梅钦利用格雷果里级数的公式
计算 值到100位小数（1706）。W.香克斯在1873年利用梅钦公式计算 值到707位小数，以后长期保持这个记录。但在1946年D.F.弗格森发现香克斯的第 528位错了。他后来和美国J.W.小雷恩在1948年联合发表 808位准确的 值。
电子计算机发明以后， 值的计算得到飞速的发展。在1949年计算到2037位，1959年计算到16167位，1967年计算到50万位，1974年计算到100万位，1981年计算到200万位，1983年计算到223（800多万）位。
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